MacroEconomics

Competitive Equilibrium

Basic Environment

• 商品、时期与状态 (Goods, Periods, States):

  • 经济中仅存在一种实体商品。
  • 时间是离散的，共 $T$ 个时期（$t = 0, 1, \dots, T$，可为无限期 $T \to \infty$）。
  • 未来具有不确定性。在每个时期 $t$，世界可能处于 $S_t$ 个可能的状态（states of the world）之一。一条特定的历史路径 $s^t$ 是从第 $0$ 期到第 $t$ 期的状态序列 $(s_0, s_1, \dots, s_t)$。

• 经济主体与偏好 (Agents and Utility):

  • 经济中有 $N$ 个经济主体（Agents），索引为 $i = 1, 2, \dots, N$。
  • 每个主体的效用由其一生的消费路径 $c$ 决定。效用函数为期望效用形式： $$ U^i(c) = \mathbb{E}\left[\sum_{t=0}^{\infty} \beta^t u^i(c_t, s_t)\right] $$ 该式可展开为： $$ U^i(c) = \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t \sum_{s^t \in S^t} u^i(c_t(s^t), s_t) P(s^t) $$
    • $\beta \in (0,1)$ 是 discount factor，反映主体的耐心程度。
    • $u^i(\cdot)$ 为主体 $i$ 的即期效用函数（instantaneous utility function）。
    • 效用可能依赖于状态 $s_t$，表明在某些状态下（如生病时），消费的边际效用可能不同。
    • $P(s^t)$ 为历史路径 $s^t$ 发生的概率。

• 禀赋 (Endowments):

  • 主体在时期 $t$、状态 $s_t$ 下获得禀赋 $y^i(s_t)$。
  • 经济在该时点的总禀赋（总产出）为所有个体禀赋之和： $$ \sum_{i=1}^{N} y^i(s_t) = \bar{y}(s_t) $$
  • 禀赋（收入）具有随机性，使主体面临收入风险（income risk），从而产生风险分担（risk sharing）的需求。

The Complete Markets Model

• 核心思想:

  • 由 Gérard Debreu 与 Kenneth Arrow 提出，是宏观经济学与一般均衡理论的基准模型。
  • 其核心思想是：将单一实体商品在不同时间、不同自然状态下的消费视为完全不同的商品。
  • 例如，“今天的一个苹果”与“明天的一个苹果”是不同的商品；“明天晴天时的一个苹果”与“明天雨天时的一个苹果”亦为不同商品。

• Arrow-Debreu Commodities:

  • 这些被区分的商品称为阿罗-德布鲁商品（Arrow-Debreu commodities）或或有消费索取权（contingent consumption claims）。
  • 市场机制：在第 0 期（$t = 0$），主体可交易所有未来时期、所有可能状态下的或有商品。例如，主体可在 $t = 0$ 支付价格 $p_t(s^t)$ 购买一份合约，该合约承诺：当且仅当历史路径 $s^t$ 发生时，持有者获得 1 单位消费品。

• 模型的意义:

  • 通过此方式，一个跨期且充满不确定性的复杂经济问题被转化为一个静态的、无不确定性的一般均衡问题，仅商品种类大幅增加。
  • 该框架为消费理论与资产定价提供了强有力的分析工具，并为宏观模型中的代表性消费者（representative consumer）假设奠定了微观基础。
  • 该理论具有明确的可检验经验含义。例如，Townsend (1994) 的著名论文《Risk and Insurance in Village India》即对此模型进行了实证检验。

Consumers' Problem, Equilibrium and Risk Sharing

The Consumers' Problem

在完全市场假设下，每个消费者 $i$ 在 $t = 0$ 时选择其一生的消费计划 $c^i = \{c_t^i(s^t)\}_{t,s^t}$，以最大化其终生效用：

$$ \max_{\{c_t(s^t)\}} \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t \sum_{s^t} P(s^t) u_i(c_t(s^t), s_t) $$

约束条件为其一生中所有或有消费的总支出不超过其总禀赋的现值。这是一个单一的跨期预算约束（a single lifetime budget constraint）：

$$ \text{s.t.} \quad \sum_{t=0}^{\infty} \sum_{s^t} p_t(s^t) c_t^i(s^t) \le \sum_{t=0}^{\infty} \sum_{s^t} p_t(s^t) y_t^i(s^t) $$

• 左侧为总支出，右侧为总财富（Wealth），记为 $W_i$。
• $p_t(s^t)$ 为在 $t = 0$ 时购买“当历史为 $s^t$ 时获得一单位商品”这一索取权的价格。
• 关键点：消费者仅面临一个预算约束，而非每个时期或每个状态各有一个。

First-Order Condition

对上述问题应用拉格朗日乘数法，设乘子为 $\lambda_i$，可得关于消费 $c_t^i(s^t)$ 的一阶条件（FOC）：

$$ \beta^t P(s^t) u_i'(c_t^i(s^t), s_t) = \lambda_i p_t(s^t) \quad \forall t, s^t $$

• 经济学含义：在最优选择下，在状态 $s^t$ 下额外消费一单位商品的边际效用（经概率与时间贴现调整后）必须与其价格成正比。
• $\lambda_i$ 为财富的边际效用（marginal utility of wealth），对给定消费者 $i$ 为常数。
• 一个重要推论是：消费者的最优消费计划仅取决于其总财富 $W_i$，而与其禀赋在不同时间与状态下的具体分布无关。

Consumption Behavior and Risk Sharing

考虑任意两个消费者 $i$ 与 $j$。其一阶条件分别为： $$ \beta^t P(s^t) u_i'(c_t^i(s^t)) = \lambda_i p_t(s^t) $$ $$ \beta^t P(s^t) u_j'(c_t^j(s^t)) = \lambda_j p_t(s^t) $$ （此处为简化，假设效用不显式依赖于状态 $s_t$）

将两式相除，可消去价格 $p_t(s^t)$、概率 $P(s^t)$ 与贴现因子 $\beta^t$，得到如下结果： $$ \frac{u_j'(c_t^j(s^t))}{u_i'(c_t^i(s^t))} = \frac{\lambda_j}{\lambda_i} = \text{Constant} $$

• 结论：任意两个消费者之间的边际效用之比，在所有时间 $t$ 与所有状态 $s^t$ 下均为常数。
• 完美风险分担（Perfect Risk Sharing）：该结果意味着个体消费随总资源同向变动（comovement）。当经济总体资源充裕时，所有人的消费均增加；当资源稀缺时，所有人的消费均减少。个体特异性冲击（idiosyncratic shocks）被市场完全分散。
• 个人消费与总体收入：可进一步推导出，每个人的消费 $c_t^i(s^t)$ 是总体收入 $Y_t(s^t)$ 的函数，其份额由相对财富（由 $\lambda$ 之比决定）确定： $$ c_t^i(s^t) = \phi_i(\lambda_1, \dots, \lambda_N, Y_t(s^t)) $$

Welfare Theorems and Social Planner

竞争性均衡与帕累托最优

• Competitive Equilibrium 指的是一组分配和价格 $(c, p)$

  1. 最优化（Optimization）：给定价格体系 $p$，所有消费者的消费计划 $c$ 均为其效用最大化问题的解。
  2. 市场出清（Market Clearing）：在每一时期 $t$ 与每一状态 $s^t$，消费品市场的总需求等于总供给： $$ \sum_i c_t^i(s^t) = \sum_i y_t^i(s^t) = Y_t(s^t) \quad \forall t, s^t $$

• 帕累托最优（Pareto Optimality）的定义：一个资源配置是帕累托最优的，若不存在另一种可行配置，能在不损害任何其他人福利的前提下，使至少一人的福利得到改善。

• 福利经济学基本定理（Fundamental Theorems of Welfare Economics）：

  1. 第一定理：任何竞争性均衡的配置均为帕累托最优。
  2. 第二定理：任何帕累托最优配置均可通过适当的初始禀赋再分配（转移支付），作为某一竞争性均衡实现。

The Social Planner's Problem

为刻画所有帕累托最优配置，可构建一个虚拟的“社会计划者”问题。该计划者直接为每位个体分配消费，目标是最大化加权社会福利，约束为资源可行性：

$$ \begin{aligned} \max \; & \sum_{i=1}^{I} \mu_i U^i(c^i) \\ \text{s.t. } & \sum_{i=1}^I c_t^i(s^t) = Y_t(s^t) \quad \forall t, s^t \end{aligned} $$

• $\mu_i \ge 0$ 为帕累托权重（Pareto weights），反映社会计划者对不同个体福利的重视程度。通过调整 $\{\mu_i\}$，可生成所有帕累托最优配置。

• 社会计划者问题的一阶条件： $$ \mu_i \beta^t P(s^t) u_i'(c_t^i(s^t)) = \gamma(s^t) $$ 其中 $\gamma(s^t)$ 为资源约束的拉格朗日乘子，表示在状态 $s^t$ 下额外一单位资源的社会价值。

均衡与最优的等价性

对比消费者问题与社会计划者问题的一阶条件：

• 消费者 FOC: $$ \beta^t P(s^t) u_i'(c_t^i(s^t)) = \lambda_i p_t(s^t) $$
• 计划者 FOC: $$ \mu_i \beta^t P(s^t) u_i'(c_t^i(s^t)) = \gamma(s^t) $$

二者存在深刻联系：

• $\dfrac{1}{\mu_i} \propto \lambda_i$（帕累托权重的倒数正比于财富的边际效用）
• $p_t(s^t) \propto \gamma(s^t)$（均衡价格正比于资源的社会价值）

这揭示了市场价格机制（“看不见的手”）如何引导自利个体的选择，实现社会最优资源配置。

Aggregation: The Representative Household

Aggregation

核心问题：宏观经济总量行为（如总消费、总投资）是否可由一个“代表性消费者”的行为描述？

• 代表性消费者存在性：完全市场结论（尤其是福利定理）为代表性消费者的存在提供了理论基础。可定义一个社会总效用函数 $V$，使得竞争性均衡配置 $(c, p)$ 亦为一个拥有效用函数 $V$ 的单一主体经济的均衡解。 $$ V\left(\left[c\left(s^t\right)\right]_t\right)=\max \left\{\sum_{i=1}^I \mu_i {U}^i(c) \; \text { s.t. } \sum_{i=1}^I c^i\left(s^t\right)=y\left(s^t\right) \text { for all } s^t\right\} $$
• Gorman Aggregation：
  • 通常，社会总效用函数 $V$ 的形式依赖于初始财富分配（即帕累托权重 $\mu_i$）。
  • 戈尔曼汇总定理给出总需求与收入分配无关的充要条件：所有消费者的间接效用函数具有戈尔曼形式（Gorman Form）： $$ v^i(p, w^i) = a^i(p) + b(p)w^i $$ 此时，个体需求对财富 $w^i$ 呈线性，总需求仅依赖于总财富 $W = \sum w^i$。
  • 对数效用（Log Utility）是满足戈尔曼形式的特例。在此情形下，均衡价格仅依赖于总量基本面（总禀赋、概率等），而与个体间禀赋分配无关。

模型的实证含义 (Testable Restrictions)

完全市场模型给出若干强预测，可在现实数据中检验：

1. 个人收入无关性：在控制总体收入（aggregate income）后，个体消费不应再与其当期个人收入相关。个体收入冲击应通过市场被完全平滑。
2. 消费的完美共动（Perfect Comovement）：不同个体的消费增长率应高度相关。
3. 消费分布的恒定性：个体间消费水平的离散程度（如方差）应随时间保持不变。

这些预测在现实中常不成立，表明现实市场是不完全的（incomplete），从而推动了后续宏观经济学的重要研究。

Sequential Trading

序贯交易 (Sequential Trading) 与阿罗证券 (Arrow Securities)

Arrow-Debreu 模型假设所有交易在 $t = 0$ 完成，现实中不可行。更现实的替代是序贯交易。

• 市场结构：在每个时期 $t$ 的每个状态 $s^t$，开放两类市场：
  1. 现货市场（Spot Market）：交易当期消费品。
  2. 短期债券市场（One-period Bonds Market）：交易阿罗证券（Arrow securities）。
• 阿罗证券：一份在 $s^t$ 购买的阿罗证券，承诺在下一期 $t+1$ 的特定状态 $s_{t+1}$ 发生时支付 1 单位商品，其他状态支付 0。其在 $s^t$ 的价格为 $q(s_{t+1} \mid s^t)$。
• 等价性：若存在完备的阿罗证券（即覆盖未来所有可能状态），则序贯交易市场的最终资源配置与 Arrow-Debreu 完全市场等价（equivalent），显著提升了模型的现实性。

资产定价基础

• 阿罗证券价格与随机折现因子（SDF）：

  • 由消费者的跨期优化问题（欧拉方程）可推导阿罗证券价格： $$ q(s_{t+1} \mid s^t) = \beta \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)} P(s_{t+1} \mid s^t) $$

  • 由此引出宏观与金融学核心概念：随机折现因子（Stochastic Discount Factor, SDF），亦称定价核（pricing kernel）： $$ m_{t+1} = \beta \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)} $$

• 基本资产定价方程：对任意资产 $i$（$t$ 期价格为 $Q_t^i$，$t+1$ 期回报为 $R_{t+1}^i$），其价格满足： $$ 1 = \mathbb{E}_t[m_{t+1} R_{t+1}^i] $$ 含义：资产的期望回报经 SDF 调整后必须等于 1。资产回报在消费者边际效用高（消费低，SDF 高）时价值更高，在边际效用低（消费高，SDF 低）时价值更低。

• 风险溢价：风险资产的期望回报高于无风险利率，因其回报与 SDF 负相关。即，风险资产通常在经济好（消费高，SDF 低）时回报高，在经济差（消费低，SDF 高）时回报低。为激励持有此类“顺周期”资产，需提供风险溢价： $$ \mathbb{E}_t[R_{t+1}^i] - R_{t+1}^f = -\frac{\text{Cov}_t(m_{t+1}, R_{t+1}^i)}{\mathbb{E}_t[m_{t+1}]} $$

权益溢价之谜 (The Equity Premium Puzzle)

这是将上述理论应用于现实数据时发现的著名难题。

• 模型设定：
  • 假设效用函数为 CRRA（Constant Relative Risk Aversion）形式：$u(c) = \frac{c^{1-\theta}}{1-\theta}$，其中 $\theta$ 为相对风险规避系数。
  • SDF 变为：$m_{t+1} = \beta \left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)^{-\theta}$。
  • 资产回报与消费增长率服从对数正态分布。
• 理论预测：股票的期望超额回报（权益溢价）可近似表示为： $$ \ln \mathbb{E}[R_e] - r_f \approx \theta \cdot \text{Cov}(\Delta \ln C, \Delta \ln R_e) $$ 简化后为： $$ \text{Equity Premium} \approx \theta \cdot \rho_{c,e} \cdot \sigma_c \cdot \sigma_e $$
• 数据与矛盾：
  • 基于美国百年数据，观察到：
    • 权益溢价约 6%；
    • 消费增长率标准差 $\sigma_c$ 很低（约 1–2%）；
    • 股票回报与消费增长率相关性 $\rho_{c,e}$ 不高。
  • 代入公式，为解释 6% 的权益溢价，需 $\theta$ 高达 27 甚至更高。
• “谜”之所在：绝大多数经济学家认为，$\theta > 10$ 在现实中“高度不可信”（highly implausible），因其意味着个体愿为规避微小风险而放弃巨大确定性收益。
• 结论：标准的、以消费为基础的资产定价模型无法在合理参数下解释美国历史上的高额权益溢价，此即著名的权益溢价之谜。该谜题激发了行为金融学及对偏好结构（如习惯形成、递归效用）的大量后续研究。

Neoclassical Growth Model

经济学的核心问题之一是：为什么有些国家比其他国家富裕得多？ 为了回答这个问题，我们需要理论和数据的结合。

Solow Model

索洛模型是新古典增长理论的基石，它解释了一个经济体如何通过资本积累实现增长。

核心假设:

• 经济中只生产一种同质产品，可用于消费或投资。
• 封闭经济，没有国际贸易。
• 人们将其收入的一个固定比例 $ s $ 用于储蓄，模型不解释储蓄行为本身。
• 人口以恒定的外生速率 n 增长。
• 技术水平以恒定的外生速率增长（为简化起见，在模型初期假设技术水平固定）。

模型由两个核心方程构成：

• (i) 生产函数 (Production Function)
• (ii) 资本积累方程 (Capital Accumulation)

(i) 生产函数: 描述投入（资本 $K$ 和劳动 $L$）如何转化为产出（$Y$）： $$ Y_t = F(K_t, L_t) $$

该生产函数具有以下特性：

• 规模报酬不变 (Constant Returns to Scale)： $$ F(\lambda K, \lambda L) = \lambda F(K, L), \quad \forall \lambda > 0 $$ 这个特性在完全竞争市场下意味着不存在超额利润（租金）。

• 边际报酬为正且递减 (Positive and Diminishing Marginal Returns)： $$ F_K > 0, F_{KK} < 0, \quad F_L > 0, F_{LL} < 0 $$ 这意味着增加一单位的资本或劳动所带来的产出增量是递减的。

• 稻田条件 (Inada Conditions)： $$ \begin{gathered} \lim_{K\to0} F_K = \infty, \quad \lim_{K\to\infty} F_K = 0 \\ \lim_{L\to0} F_L = \infty, \quad \lim_{L\to\infty} F_L = 0 \end{gathered} $$ 这些条件确保了稳态的存在性和唯一性。

一个典型的新古典生产函数是柯布-道格拉斯 (Cobb-Douglas) 生产函数： $$ Y = K^\alpha L^{1-\alpha}, \quad 0 < \alpha < 1 $$

(ii) 资本积累方程: 资本存量的变化（$\dot{K}_t$）等于总投资（$I_t$）减去资本折旧（$ \delta K_t $）： $$ \dot{K}_t = I_t - \delta K_t $$ 其中，$\dot{K}_t$ 是资本存量随时间的变化率，$I_t$ 是总投资，$\delta$ 是折旧率。

在封闭经济中，投资等于储蓄（$I_t = S_t$），而储蓄是产出的一个固定比例（$S_t = sY_t$）。因此，我们得到： $$ \dot{K}_t = sF(K_t, L_t) - \delta K_t $$

人均形式的模型 (Per Capita Terms)

为了分析人均产出和生活水平，我们将模型转换为人均形式。定义人均资本 $ k_t = K_t / L_t $，人均产出 $ y_t = Y_t / L_t $。

由于生产函数是规模报酬不变的，我们可以将其写为人均形式 $$ y_t = \frac{F(K_t, L_t)}{L_t} = F(K_t/L_t, 1) \equiv f(k_t) $$ 根据求导法则： $$ \dot{k}_t=\frac{\dot{K}_t}{L_t}-\frac{K_t}{L_t} \cdot \frac{\dot{L}_t}{L_t} $$ 注意到 $\dfrac{\dot{L}_t}{L_t}=n$，于是得到人均资本积累的核心动态方程：
$$ \dot{k}_t = s f(k_t) - (\delta + n) k_t $$ 这个方程的每个部分都有清晰的经济学含义：

• $\dot{k}_t$ ：人均资本的净增长。这是我们关心的核心变量，代表了每个工人资本存量的净变化。
• $s f\left(k_t\right)$ ：实际人均投资。 $f\left(k_t\right)$ 是人均产出 $y_t$ ，而 $ s $ 是储蓄率。因此这一项代表了新产生的人均储蓄（或投资），这是增加人均资本的唯一来源。
• $(\delta+n) k_t$ ：＂收支平衡＂投资（Break-even Investment）。这是为了维持现有的人均资本水平不变所需要的投资量。它由两部分组成；
  • $ \delta k_t $ ：资本折旧。为了弥补每个工人现有资本 $k_t$ 的损耗，需要进行的重置投资。
  • $ n k_t $ ：资本广化（Capital Widening）。由于劳动力以 $n$ 的速度增长，新加入的工人需要配备与现有工人相同水平的资本 $k_t$ ，才能使人均资本水平不下降。这部分投资就是为新工人提供资本。

稳态 (Steady State)

稳态是经济长期均衡的状态，此时人均资本 $ k $ 和人均产出 $ y $ 保持不变，即 $\dot{k}_t = 0$。

• 稳态的条件：
  $$ s f(k^\ast) = (\delta + n) k^\ast $$ 在图形上，它是储蓄曲线 $ s \cdot f(k) $ 和持平投资直线 $ (\delta + n) k $ 的交点。

• 稳定性：索洛模型的稳态是全局稳定的。无论初始人均资本是多少（$ k_0 > 0 $），经济最终都会收敛到稳态水平 $ k^\ast $。

  • 若 $ k < k^\ast $，则投资大于持平投资，$ k $ 增加。
  • 若 $k > k^\ast$，则投资小于持平投资，$ k $ 减少。

在稳态下，人均变量虽然不增长了，但总量（总资本 K、总产出 Y、总消费 C）仍然在以人口增长率 n 的速度增长，因为经济体中的人口在不断增加。

比较静态分析 (Comparative Statics)

• 储蓄率 ($ s $)：更高的储蓄率 ($ \uparrow s $) 会导致更高的稳态人均资本和产出 ($ \uparrow k^\ast, \uparrow y^\ast $)。
• 人口增长率 ($n$)：更高的人口增长率 ($ \uparrow n $) 会稀释资本，导致更低的稳态人均资本和产出 ($ \downarrow k^\ast, \downarrow y^\ast $)。

黄金律 (The Golden Rule)

索洛模型中的储蓄率是外生的，但我们可以问：是否存在一个“最优”的储蓄率，能够最大化稳态时的人均消费？

• 稳态消费：
  $$ c^\ast = y^\ast - s \cdot y^\ast = f(k^\ast) - (\delta + n) k^\ast $$

• 黄金律资本水平 ($ k_{\text{gold}}^\ast $)：最大化 $c^\ast$ 的资本水平，其条件是：
  $$ f_k(k_{\text{gold}}^\ast(s)) = n + \delta $$ 即资本的边际产出等于人口增长率与折旧率之和。

• 动态无效率 (Dynamic Inefficiency)：如果一个经济体的储蓄率过高，使得 $ k^\ast > k_{\text{gold}}^\ast $，那么它就处于动态无效率状态。此时，只需降低储蓄率，就可以在不牺牲未来消费的情况下，提高当前和未来的所有消费水平。

过渡动态与趋同 (Transitional Dynamics and Convergence)

• 核心思想：经济增长发生在向稳态过渡的过程中。一个经济体离其稳态越远，其增长速度越快。

• 趋同假说 (Convergence Hypothesis)：

  • 绝对趋同 (Absolute Convergence)：所有国家无论初始条件如何，最终都会收敛到相同的人均收入水平。这要求所有国家有相同的 $ s, n, \delta $ 等参数，现实中不太可能。
  • 条件趋同 (Conditional Convergence)：具有相似结构特征（相同的 $ s, n, \delta $）的国家会收敛到相同的稳态。这意味着，在控制了这些因素后，初始人均收入较低的国家应该比初始人均收入较高的国家增长得更快。经验证据普遍支持条件趋同。

• 趋同速度 ($ \beta $)：模型预测经济体弥合其与稳态之间差距的速度。理论上，趋同速度由
  $$ \beta = (1 - \alpha)(n + \delta + \dots) $$ 决定。

  • 经验难题：根据标准的资本份额（$ \alpha \approx 1/3 $）校准出的理论趋同速度（半衰期约13年），比实证研究中观察到的速度（半衰期约35年）要快得多。
  • 可能的解释：Mankiw, Romer, Weil (1992) 提出，将人力资本也视为一种资本，可以使广义的资本份额（$\alpha$）提高到0.75左右，从而大大降低理论预测的趋同速度，使其与经验证据更为吻合。

AK Model

AK模型是内生增长理论 (Endogenous Growth Theory) 的一个简单形式，它对索洛模型的核心假设——资本边际报酬递减——提出了挑战。

1. 模型设定:

• 生产函数不存在报酬递减：
  $$ Y = A K $$ 其中 $ A $ 是一个正的常数，代表技术水平。这可以看作是索洛模型中资本份额 $ \alpha = 1 $ 的特例。

• 人均形式为：
  $$ y = A k $$

• 人均资本积累方程：
  $$ \dot{k}_t = s A k_t - (\delta + n) k_t = (s A - (\delta + n)) k_t $$

2. 核心结论:

• 长期增长：只要储蓄和技术水平足够高，使得 $ s A > n + \delta $，经济就可以实现持续的、内生的正增长。增长率 $ \gamma_k = s A - (n + \delta) $。
• 政策有效性：储蓄率 $ s $ 等行为参数和政策变量会影响长期增长率，而不仅仅是稳态水平。
• 无趋同：模型不预测国家间的趋同。富国和穷国可以以不同的速度永久增长。

AK模型为解释国家间持续的增长率差异提供了一个简单框架，但其“资本无报酬递减”的假设过于极端，后续的内生增长模型（如涉及人力资本外部性或研发的模型）为此提供了更丰富的微观基础。

Ramsey Model

拉姆齐模型（或Ramsey-Cass-Koopmans模型）是新古典增长模型的另一个核心，它通过引入跨期效用最大化的家庭来内生化储蓄决策，从而克服了索洛模型中储蓄率外生的缺陷。

模型设定:

• 行为主体：

  • 无限期存活的家庭 (Infinitely-lived Households)：代表一个王朝，关心后代福祉，通过跨期优化来决定消费和储蓄路径。
  • 利润最大化的厂商 (Profit-maximizing Firms)：与索洛模型类似，在竞争性市场中租用资本和劳动。

• 家庭的目标： 最大化其终身贴现效用：
  $$ \max \int_0^\infty u(c_t) e^{-(\rho - n)t} \, dt $$ 其中，$ c_t $ 是人均消费，$ \rho $ 是时间偏好率（越 impatient，$ \rho $ 越大），$ n $ 是人口增长率。

• 家庭的预算约束： 人均资产（$a_t$）的变化等于资产回报减去消费：
  $$ \dot{a}_t = (r_t - n) a_t + w_t - c_t $$

欧拉方程 (Euler Equation)

通过求解家庭的最优化问题，我们得到描述最优消费路径的动态方程——欧拉方程： $$ \frac{\dot{c}_t}{c_t} = \frac{1}{\sigma}(r_t - \rho) $$

其中：

• $ \sigma = -\dfrac{u_{cc}(c) c}{u_c(c)} $ 是 跨期替代弹性 (Intertemporal Elasticity of Substitution, IES) 的倒数，衡量了消费的平滑偏好。$\sigma$ 越大，家庭越不愿消费路径波动。
• $ r_t $ 是真实利率。
• $ \rho $ 是主观贴现率。

经济学直觉：

• 如果市场利率 $ r_t $ 高于家庭的主观贴现率 $ \rho $，推迟消费并储蓄是值得的，因此家庭会选择一个消费不断增长的路径（$ \dot{c}_t > 0 $）。
• 利率与贴现率的差距对消费增长的影响程度，取决于 $ \sigma $。$ \sigma $ 越大，家庭越厌恶消费波动，即使利率很高，他们也只会温和地增加消费增长。

模型的动态系统与稳态

将家庭的欧拉方程与厂商的利润最大化条件（$ r_t = f_k(k_t) - \delta $）以及资源约束（资本积累方程）结合，可以得到一个关于人均资本（$ \hat{k} $）和人均消费（$ \hat{c} $）的二维动态系统。

• 稳态：在稳态中，$ \dot{\hat{k}} = 0 $ 且 $ \dot{\hat{c}} = 0 $。

• 修正的黄金律 (Modified Golden Rule)：从 $ \dot{\hat{c}} = 0 $ 可以推导出稳态的条件：
  $$ f_k(\hat{k}^\ast) = \delta + \rho + \sigma x $$ 其中 $x$ 是技术进步率。

  直觉：稳态时，资本的净边际产出必须等于家庭的“有效贴现率”。这个贴现率包括了对未来的不耐烦（$ \rho $）和对消费增长的平滑渴望（$ \sigma x $）。

• 无动态无效率：在拉姆齐模型中，由于家庭进行最优决策，并且存在一个“横截性条件”（Transversality Condition, TVC）防止过度储蓄，经济永远不会处于动态无效率状态。稳态资本水平总是小于或等于黄金律水平。

过渡动态：鞍点路径 (Saddle Path Stability)

拉姆齐模型的动态系统具有鞍点稳定性。对于任何给定的初始资本存量 $ \hat{k}_0 $，只存在唯一一个初始消费水平 $ \hat{c}_0 $，能够使经济恰好沿着稳定的“鞍点路径”收敛到长期稳态。

• 如果初始消费过高，资本会被过快消耗，最终归零。
• 如果初始消费过低，家庭会过度储蓄，违反横截性条件。

储蓄率的动态

在向稳态过渡的过程中，储蓄率的行为是不确定的。它取决于替代效应和收入效应的相对强弱。

• 替代效应：当经济体贫穷时（$ k $ 较低），资本回报率高，储蓄的吸引力大，倾向于多储蓄。
• 收入效应：当经济体贫穷时，人们更渴望立即消费，倾向于少储蓄。

校准结果表明，对于像美国这样的经济体，模型预测在接近稳态的过程中，储蓄率会下降。

Growth and Development Accounting

这是一个经验性的框架，用于量化不同因素对经济增长和收入差异的贡献。

1. 增长核算 (Growth Accounting)

将一个国家一段时间内的产出增长率分解为生产要素（资本、劳动）增长和技术进步的贡献： $$ \gamma_Y = \gamma_A + \alpha \gamma_K + (1 - \alpha) \gamma_L $$

• $ \gamma_A $，即全要素生产率 (Total Factor Productivity, TFP) 的增长率，通常被称为“索洛剩余”。它是一个“残差项”，捕捉了所有不能由资本和劳动投入增长解释的产出增长。
• TFP的来源包括技术进步、效率改善、制度优化等。
• 早期研究发现TFP贡献了增长的70%，被称为“我们无知的量度”。在对劳动（如教育）和资本（如设备质量）的质量进行调整后，TFP的贡献下降到1/3至1/2，但仍然至关重要。

2. 发展核算 (Development Accounting)

将不同国家在某个时间点的人均收入差异分解为要素投入（人均资本、人力资本）差异和TFP差异： $$ \log Y_i = \log A_i + \alpha \log K_i + \dots $$

• 研究发现，TFP（$ A_i $）的差异解释了国家间人均收入差异的50%以上。
• 资源错配 (Resource Misallocation)，即资本和劳动力没有被配置到生产率最高的企业或部门，被认为是解释国家间TFP差异的一个重要原因。金融市场不发达、劳动力市场管制等都可能导致资源错配。

总结

• 索洛模型提供了一个基本的框架，说明了资本积累和技术进步在经济增长中的作用，并引出了重要的条件趋同假说。但其储蓄率外生的假设是一大缺陷。
• AK模型作为内生增长理论的开端，展示了在没有资本报酬递减的情况下，储蓄和政策如何影响长期增长率。
• 拉姆齐模型通过内生化储蓄决策，提供了更为完善的微观基础，其鞍点路径稳定性是现代宏观动态分析的核心工具。
• 增长/发展核算为我们提供了量化分析增长和收入差距来源的工具，并指出了TFP和资源配置效率的关键作用。

Incomplete Market

The Lifecycle Model Framework

生命周期模型（Lifecycle Model）是一个非常灵活的宏观经济学分析框架，而非单一模型。其核心要素包括：

1. 消费者生存期：可以是有限期（$T$）或无限期（$\infty$）。
2. 劳动收入流：$\{y_t\}$ 可以是常数、随时间变化的或具有风险的随机变量。
3. 决策：每一期消费者需要在消费（consumption）和储蓄（savings）之间做决定。

在此框架下，根据假设不同可以衍生出无数变体：

• 风险偏好（Risk preferences）。
• 借贷约束（Borrowing constraints）：能否自由借贷？
• 资产种类（Financial assets）：有哪些资产可供交易？
• 决策变量：除了消费，是否包含耐用品、劳动供给、教育决策或生育决策？

市场结构的分类：

• 完全市场 (Complete Markets)：Arrow-Debreu 模型。
• 不完全市场 (Incomplete Markets)：
  • 无收入风险：对应永久收入假说（Permanent Income Hypothesis, PIH）。
  • 有收入风险：
    • 无审慎动机（No prudence, $u'''(c)=0$）：确定性等价（Certainty Equivalence, CEQ）。
    • 有审慎动机（Prudence, $u'''(c)>0$）：预防性储蓄（Precautionary Savings）。

不完全市场的基本环境

设定：

• $T$ 期，每期 $t$ 有 $S_t$ 种自然状态。
• 效用函数：$U^i(\mathbf{c}) = E \left[ \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t u^i(c_t, s_t) \right] = \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t \sum_{s^t \in S^t} u^i(c_t, s_t) P[s^t]$。
• 禀赋：$\{y^i(s_t)\}_t$。
• 市场结构：在历史路径 $s^t$ 下，消费者只能购买一种证券（通常是无风险债券），该证券在 $t+1$ 期的所有状态下支付 1 单位回报，价格为 $q(s^t)$。这不同于 Arrow Security（后者只在特定状态支付）。

预算约束对比：

1. 完全市场：$S+1$ 个选择变量。 $$ c(s^t) + \sum_{s_{t+1}} q_t(s_{t+1}|s^t) a_{t+1}(s^t, s_{t+1}) = y(s^t) + a_t(s^t) $$
2. 不完全市场：2 个选择变量（消费和下期资产）。 $$ c(s^t) + q_t(s^t) a_{t+1}(s^t) = y(s^t) + a_t(s^t) $$ 其中债券价格与利率关系为 $q_t(s^t) = \dfrac{1}{1+r_t(s^t)}$。

消费者问题与欧拉方程 (Euler Equation)：

定义 Cash on hand 为 $x \equiv y + a$。

Bellman 方程： $$ V(y+a, s) = \max_{c, a'} \left\{ u(c, s) + \beta E [V(y(s') + a', s') | s] \right\} $$ 约束条件：$c + \dfrac{1}{1+r(s)}a' = y+a$。

推导出的欧拉条件： $$ u'(c(x, s)) = (1+r(s)) \beta E [u'(c(y(s') + a'(x, s), s')) | s] $$

这意味着个体的随机折现因子（Stochastic Discount Factor, SDF）为 $1 = E_t \left[ \beta \frac{u'(c_{t+1}, s_{t+1})}{u'(c_t, s_t)} R_t \right]$，且在不完全市场中，不同个体的 SDF 不相等。

永久收入假说 (Permanent Income Hypothesis, PIH)

基准情况：

假设没有收入不确定性（$y_t$ 随时间变化但完全可预测），且 $\beta R = 1$。只要效用函数严格凹，最优路径为消费平滑：$c_t = c_{t+1} = \bar{c}$。

Friedman 的 PIH：

总财富 = 金融财富 ($a_t$) + 人力财富 (Human Wealth, 未来收入的净现值)。

预算约束推导出的消费函数： $$ c_t = \frac{r}{1+r} \left( a_t + \sum_{j=0}^{\infty} \left(\frac{1}{R}\right)^j y_{t+j} \right) = \frac{r}{1+r} (a_t + Y_t^P) $$ 其中 $Y_t^P$ 是永久收入。

核心洞见：

1. 当期消费取决于未来收入。
2. 只要永久收入 $Y_t^P$ 不变，当期暂时性收入 $y_t$ 的波动不影响消费（消费平滑）。
3. 储蓄行为：$a_{t+1} - a_t = y_t - \frac{r}{1+r} Y_t^P$。
   • 如果当期收入 > 永久收入，储蓄（Save）。
   • 如果当期收入 < 永久收入，借款（Borrow）。 即储蓄是为了平滑暂时性的收入波动。

风险收入与确定性等价 (Certainty Equivalence, CEQ)

当引入收入风险时，若效用函数为二次型（Quadratic Preferences）：$u(c) = c - \frac{1}{2}bc^2$，则边际效用是线性的 $u'(c) = 1 - bc$。

随机游走 (Random Walk) - Hall (1978)：

若 $\beta R = 1$，欧拉方程意味着 $E_t[c_{t+1}] = c_t$，即 $c_{t+1} = c_t + u_t$。消费遵循随机游走。

CEQ 下的消费函数： $$ c_t = \frac{r}{1+r} (a_t + E_t[Y_t^P]) $$ 消费取决于永久收入的期望值。

消费的变动： $$ c_t - c_{t-1} = \frac{r}{1+r} (E_t[Y_t^P] - E_{t-1}[Y_t^P]) $$ 消费的变动仅反映了对永久收入期望的修正（即“消息”或“意外”）。

• 预期到的收入变化（如已知的升职）不会改变当期消费。
• 未预期到的消息（News）才会改变消费。

边际消费倾向 (MPC)： 假设收入过程为 $y_t = y_t^P + u_t$（暂时性冲击）且 $y_t^P = y_{t-1}^P + \varepsilon_t$（永久性冲击）。

1. 永久性冲击 ($\varepsilon_t$)：MPC = 1。收入永久增加 1 元，消费增加 1 元。
2. 暂时性冲击 ($u_t$)：MPC $\approx r/(1+r) \approx 0.05$。收入暂时增加 1 元，大部分被储蓄起来，消费仅增加利息部分。

风险分担解释：

• 完全市场：消费不随个人收入变动，只随总收入变动（人与人之间分担风险）。
• 不完全市场 (CEQ)：消费不随当期收入变动，只随永久收入变动（自我跨期分担风险）。

预防性储蓄 (Precautionary Savings)

概念： 在 CEQ（二次效用）中，尽管消费者厌恶风险，但其储蓄行为不受风险大小的影响（只看一阶矩）。 预防性储蓄是指由于未来收入存在风险（高阶矩）而产生的额外储蓄。

审慎 (Prudence)： 决定预防性储蓄的关键是效用函数的三阶导数。

• Kimball (1990) 定义 Prudence：当且仅当 $u'''(c) > 0$ 时，个体是审慎的。
• CRRA（常相对风险厌恶）和 CARA（常绝对风险厌恶）效用函数均满足 $u'''(c) > 0$。
• 二次效用函数 $u'''(c) = 0$，无预防性储蓄。

直觉： 欧拉方程 $u'(c_t) = \beta R E_t[u'(c_{t+1})]$。由于 $u'$ 是凸函数（因为 $u''' > 0$），根据 Jensen 不等式，收入波动（风险）会提高预期的未来边际效用 $E[u'(c_{t+1})]$。为了平衡方程，当期边际效用 $u'(c_t)$ 必须提高，意味着当期消费 $c_t$ 必须减少，从而增加储蓄。

CARA 模型 (The CARA Model)

CARA 效用函数 $u(c) = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma c}$ 是少数可以求得解析解的模型。 特点：无财富效应（风险态度不随财富水平改变）。

解析解对比：

• CEQ：$c_t^{CEQ} = \frac{r}{1+r} a_t + \dots$
• CARA： $$ c_t^{CARA} = c_t^{CEQ} - \frac{\gamma}{r} \left( \sigma_\varepsilon^2 + \left(\frac{r}{1+r}\right)^2 \sigma_u^2 \right) $$ CARA 下的消费等于 CEQ 消费减去一个常数项（预防性储蓄部分）。这意味着风险会导致消费曲线向下平移，储蓄增加。

资产演化： 资产积累过程呈现带漂移项的随机游走（Random walk + Drift）。这意味着在 CARA 模型下，资产 $a_t$ 没有上界，且可能趋向于 $\pm \infty$。

自然借贷约束 (The Natural Borrowing Limit, NBL)

为了防止消费者在 $T \to \infty$ 时不断借新还旧（Ponzi Scheme），必须施加约束。 即使没有外生借贷限制，只要要求消费必须非负 ($c_t > 0$)，市场也会内生出一个自然借贷约束 (NBL)。

定义： NBL 是指消费者在任何历史路径下都能偿还的最大债务额。这取决于收入过程的最小值 $y_{min}$。 $$ a_t(s^t) \geq -\frac{1+r}{r} y_{min} = -A_{NBL} $$ 如果消费者的债务超过 $y_{min}$ 的永续年金价值，他在遭遇 $y_{min}$ 收入冲击时将无法偿还债务并维持非负消费。

模型求解： 在 NBL 下，如果效用函数满足 Inada 条件（$c \to 0$ 时 $u' \to \infty$），则 NBL 永远不会起作用，消费者会自觉避免触碰该底线。此时可按无约束问题求解，但需注意资产过程 $a_{t+1} = a(x_t, s_t)$ 和消费过程 $c_t = c(x_t, s_t)$ 是 cash-on-hand $x$ 的单调函数。

一般均衡与 Aiyagari (1994) 模型

问题： 个人层面的消费能否完全平滑？资产是否有限？预防性储蓄对宏观经济有何影响？

异质性代理人 (Heterogeneous Agents)： 每个消费者面临特异性（Idiosyncratic）的收入冲击。资产演化方程 $a_{t+1}^i = a(x_t^i, s_t^i)$ 会产生一个资产的平稳分布 $f(a)$。

• 穷人：遭受了一系列负向冲击，资产接近 NBL。
• 富人：遭受了一系列正向冲击，积累了大量资产（用于自我保险）。

一般均衡：

1. 资本供给：总储蓄 $A(r) = \int a dF(a; r)$。由于预防性储蓄动机，对于给定的 $r$，不完全市场下的储蓄高于完全市场。
2. 资本需求：企业的一阶条件 $r + \delta = \alpha k^{-(1-\alpha)}$。
3. 均衡结果：
   • 不可保风险（Uninsurable risk）导致资本供给曲线向右移动。
   • 均衡利率 $r^\ast$ 低于 时间偏好率 $\rho$（即 $\beta (1+r^\ast) < 1$）。
   • 相比完全市场，经济中存在过度资本积累（Over-accumulation of capital）。

缓冲库存模型 (Buffer Stock Model) 与消费行为

Carroll 提出缓冲库存行为，解释了当 $\rho > r$（不耐）与预防性储蓄共存时的现象。

逻辑：

• 不耐 ($\rho > r$)：促使消费者提前消费，资产减少。
• 审慎 (Prudence)：促使消费者积累财富以防范收入为零的风险。

动态平衡： 消费者会有一个目标财富水平（Target Wealth）。

• 当财富低于目标时，预防性动机占主导 $\to$ 储蓄，财富增加。
• 当财富高于目标时，不耐占主导 $\to$ 负储蓄，财富减少。 这种机制导致资产分布是有界的（Bounded），不会像 PIH 或 CARA 那样发散。

对数欧拉方程近似： $$ E_t [\Delta \ln c_{t+1}] \approx \frac{r-\rho}{\theta} + \frac{1}{2}\theta var(\Delta \ln c_{t+1}) $$ 消费增长不仅取决于跨期替代（第一项），还取决于风险（方差项）。当资产积累增加时，消费波动率下降，预防性储蓄动机减弱。

边际消费倾向 (MPC) 的异质性

理论预测：

• 富裕家庭：手头现金多，远离借贷约束，行为接近 PIH/CEQ $\to$ 低 MPC（用于平滑消费）。
• 贫穷家庭：手头现金少，接近缓冲库存或借贷约束，无法平滑消费 $\to$ 高 MPC（接近 Hand-to-mouth）。

实证证据：

• Parker et al. (2008)：利用退税政策研究，发现低收入、老年、有房贷家庭的 MPC 显著更高（12-30% 甚至更高）。
• Jappelli & Pistaferri (2010)：调查数据显示 MPC 与手头现金（Cash-on-hand）呈显著负相关。

外生借贷约束 (Exogenous Borrowing Constraints)

若强加外生约束 $a_t \geq -\phi$（其中 $-\phi > -A_{NBL}$，即约束比自然限制更紧）。

欧拉方程的变化： 引入拉格朗日乘子 $\mu(x,s)$： $$ u'(c_t) = \beta R E_t [u'(c_{t+1})] + \mu_t $$ 互补松弛条件：$\mu_t (a' + \phi) = 0$。

1. 约束不紧 (Not binding)：$a' > -\phi$，$\mu_t = 0$，标准欧拉方程成立。
2. 约束紧 (Binding)：$a' = -\phi$，$\mu_t > 0$。 此时 $u'(c_t) > \beta R E_t [u'(c_{t+1})]$。 这意味着当期边际效用过高 $\to$ 当期消费过低。消费者想借款消费但被禁止。 结果：在约束处的 MPC 非常高（接近 1），因为任何额外的收入都会立即被用于缓解这种消费不足。

Overlapping Generations Model & Ricardian Equivalence

基准模型：Endowment Economy with Infinitely-lived Agents

为了理解 OLG 模型的特殊性，首先建立一个标准的、代理人无限长寿的经济模型。

基本设定:

• 时间：离散时间，$t = 0, 1, 2, \dots$
• 代理人：存在许多无限长寿的家庭（用索引 $i$ 表示）。
• 禀赋：每个家庭 $i$ 都有一系列确定的禀赋流 $y^i=\{y_t^i\}_{t=1}^{\infty}$。
• 效用：家庭 $i$ 从其消费流 $c^i=\{c_t^i\}_{t=1}^{\infty}$ 中获得效用 $U^i(c^i)$。
• 市场：假设存在 complete market。这意味着在时间 0，家庭就可以交易所有未来时期的商品。时期 $t$ 的商品价格为 $q_t^0$。

家庭 $i$ 的最优化问题是在其预算约束下最大化其终身效用。 $$ \begin{aligned} \max_{c^i} & \; U^i(c^i) \\ \text{ s.t. } & \sum_{t=1}^{\infty} q_t^0 c_t^i \le \sum_{t=1}^{\infty} q_t^0 y_t^i \end{aligned} $$

OLG 模型

OLG 模型的核心特征是代理人生命有限，并且每一期都有新一代人出生，与上一代人同时存在（“重叠”）。

核心假设:

• 有限生命：每一代人 $i$ (generation $i$) 只存活两期：年轻时 (在时期 $i$) 和年老时 (在时期 $i+1$)。

• 禀赋：代理人 $i$ 仅在年轻和年老时拥有禀赋，其他时期禀赋为 0。即 $y_t^i=0, \forall t \ne i, i+1$。

• 效用函数:

  • 对于 $i>0$ 的各代人，效用取决于年轻和年老时的消费： $$ U^i(c^i) = u(c_i^i) + u(c_{i+1}^i) $$ 其中 $u'>0, u''<0$，表示效用函数是递增且凹的（即存在边际效用递减）。
  • 有一个特殊的第 0 代：他们在时期 1 时已经年老，因此他们只关心在时期 1 的消费。其效用为 $U^0(c^0)=u(c_1^0)$。

• 世代 $i>0$ 的最优化问题: 每一代年轻人 $i$ 需要决定年轻时的消费 $$c_i^i$$ 和年老时的消费 $$c_{i+1}^i$$，以最大化其两期效用。 $$ \begin{aligned} \max_{c_i^i, c_{i+1}^i} \; & u(c_i^i) + u(c_{i+1}^i) \\ \text{s.t. } & q_i^0 c_i^i + q_{i+1}^0 c_{i+1}^i \le q_i^0 y_i^i + q_{i+1}^0 y_{i+1}^i \end{aligned} $$ 这个约束的含义是：代际 $i$ 一生消费的现值不能超过其一生禀赋的现值。

• 求解: 可以通过建立拉格朗日函数来求解这个问题。 $$ L^i = u(c_i^i) + u(c_{i+1}^i) + \mu^i[q_i^0 y_i^i + q_{i+1}^0 y_{i+1}^i - (q_i^0 c_i^i + q_{i+1}^0 c_{i+1}^i)] $$ 一阶条件为: $$ \begin{aligned} & \frac{\partial L^i}{\partial c_i^i} = u'(c_i^i) - \mu^i q_i^0 = 0 \\ & \frac{\partial L^i}{\partial c_{i+1}^i} = u'(c_{i+1}^i) - \mu^i q_{i+1}^0 = 0 \end{aligned} $$ 合并这两个式子，可以得到消费的欧拉方程： $$ \frac{u'(c_i^i)}{u'(c_{i+1}^i)} = \frac{q_i^0}{q_{i+1}^0} $$ 这个条件是宏观经济学中的标准结果：跨期边际替代率 (marginal rate of substitution) 等于相对价格。

An Example

• 禀赋设定: 假设对于所有 $i \geqslant 1$ 的代际，禀赋如下： $$ y_t^i = \begin{cases} 1-\epsilon & \text{if } t=i \ge 1 \text{ (年轻)} \\ \epsilon & \text{if } t=i+1 \text{ (年老)} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$ 其中 $ \epsilon \in (0, 0.5) $。这意味着年轻人比老年人拥有更多的禀赋。

• Stationary Equilibrium: 我们寻找一种稳态均衡，其中所有代际的年轻时消费相同 ($c_y$)，年老时消费相同 ($c_o$)。我们标准化时期 1 的价格为 $q_1^0=1$。

  在这个经济中，存在两种可能的均衡：

  1. 均衡 L (自给自足，Autarky):

     • 猜测: 经济中没有跨代际的贸易。每个人都只消费自己的禀赋，即 $c_t^i = y_t^i$。
     • 价格: 相对价格由边际效用之比决定。$q_{t+1}^0 / q_t^0 = u'(\epsilon) / u'(1-\epsilon) \equiv \alpha > 1$。由于 $u''<0$ 且 $\epsilon < 1-\epsilon$，所以 $u'(\epsilon) > u'(1-\epsilon)$，因此价格比率 $\alpha > 1$。
     • 含义: 价格随着时间的推移而快速下降。未来商品的价值非常低。

  2. 均衡 H (代际贸易，Intergenerational Trade):

     • 猜测: 年轻人通过储蓄（例如，借钱给老年人或购买资产）将部分禀赋转移到老年，以平滑消费。价格是恒定的，即 $q_t^0=1, \forall t \ge 1$。
     • 消费: 在这种情况下，$u'(c_y) / u'(c_o) = 1$，意味着 $c_y=c_o$。由于每一期总禀赋为 $(1-\epsilon)+\epsilon=1$，市场出清要求消费也为1，因此 $c_y=c_o=0.5$。
     • 可行性: 这种均衡是可行的。年轻人消费 0.5，储蓄 $1-\epsilon-0.5$。老年人禀赋为 $\epsilon$，他们需要借入 $0.5-\epsilon$ 来满足消费。年轻人储蓄的恰好等于老年人需要的。

• 均衡利率: 时期 $t$ 的净利率 $r_t$ 定义为 $1 \cdot q_t^0 = (1+r_t)q_{t+1}^0$。

  • 在 均衡 L 中: $1+r_t = q_t^0/q_{t+1}^0 = 1/\alpha$。因此利率 $r_L = (1-\alpha)/\alpha \in (-1, 0)$。这是一个负利率。
  • 在 均衡 H 中: $q_t^0/q_{t+1}^0 = 1$。因此利率 $r_H = 0$。这是一个零利率。

效率分析与第一福利定理

• 哪个均衡更优? 均衡 H Pareto-dominates 均衡 L。在均衡 H 中，所有 $i \geqslant 1$ 的代际都实现了完美的消费平滑，获得了更高的效用。第 0 代人的消费在两种均衡下是相同的。因此，均衡 H 更好。

• 为什么均衡 L 是低效率的? 这触及了第一福利定理 (First Welfare Theorem) 的一个技术性前提条件。

  • 第一福利定理: 如果市场是完全的且满足本地非饱和性 (local-non-satiation)，那么任何竞争性均衡都是帕累托最优的。
  • 被违反的条件: 该定理有一个隐藏的假设，即，经济中总禀赋的价值在均衡价格下必须是有限的。 $$ \sum_{i} q^0 c^i = \sum_{i} q^0 y^i < \infty $$
  • 在 均衡 L 中，价格序列为 $\{1, 1/\alpha, 1/\alpha^2, ...\}$。虽然每一代人的禀赋有限，但存在无限代人。总禀赋的价值是无限的，这导致了第一福利定理的失效。而在 均衡 H 中，价格为常数1，总禀赋价值同样是无限的。然而，均衡 H 实现了帕累托最优，这表明总禀赋价值无限并不必然导致无效率，但它是导致定理失效和可能出现无效率的“漏洞”。这种无效率被称为 动态无效率 (Dynamic Inefficiency)。

动态效率与社会保障

更一般化的 OLG 模型

• 设定:

  • 效用函数引入贴现因子 $\beta$: $U^i(c^i) = (1-\beta)u(c_i^i) + \beta u(c_{i+1}^i)$
  • 禀赋结构不变：年轻人有 $1-\epsilon$，老年人有 $\epsilon$。

• 竞争均衡 (CE): 通过证明可以得出，该模型中唯一的竞争均衡仍然是没有贸易 (no trade) 的均衡。即每个人都消费自己的禀赋 $c_i^i = 1-\epsilon$ 和 $c_{i+1}^i = \epsilon$。 在此均衡下，价格比率 (决定了利率) 为： $$ \frac{q_i^0}{q_{i+1}^0} = \frac{(1-\beta)u'(1-\epsilon)}{\beta u'(\epsilon)} $$

• 最优配置 (OA, Social Planner's Solution): 社会计划者不受市场价格约束，他直接在资源约束下最大化代表性代际的效用。 $$ \begin{aligned} \max_{c_y, c_o} & \; (1-\beta)u(c_y) + \beta u(c_o) \\ \text{s.t. } & c_y+c_o = 1 \end{aligned} $$ 求解得到最优配置的条件： $$ \frac{(1-\beta)u'(c_y^\ast)}{( \beta u'(c_o^\ast)} = 1 \implies \frac{u'(c_y^\ast)}{u'(c_o^\ast)} = \frac{\beta}{1-\beta} $$

• CE 与 OA 的比较:

  • 只有当 CE 中的价格比率恰好等于 OA 中的边际效用比率时，竞争均衡才是有效率的。即： $$ \frac{(1-\beta)u'(1-\epsilon)}{\beta u'(\epsilon)} = 1 \iff \frac{u'(1-\epsilon)}{u'(\epsilon)} = \frac{\beta}{1-\beta} $$
  • 以对数效用 $u(c)=\log c$ 为例，$u'(c)=1/c$。
    • CE (无贸易) 配置: $c_y = 1-\epsilon, c_o = \epsilon$
    • OA 最优配置: $c_y^\ast = 1-\beta, c_o^\ast = \beta$
  • 结论:
    1. 当 $\epsilon = \beta$ 时，CE = OA，经济是动态有效的，此时利率为零。
    2. 当 $\epsilon < \beta$ 时，OA Pareto dominates CE。这意味着市场自发调节的结果 (CE) 是低效率的。所有人都可以在 OA 中过得更好。此时经济存在动态无效率 (Dynamic Inefficiency)，利率为负。
    3. 当 $\epsilon > \beta$ 时，CE 和 OA 无法进行Pareto比较。此时经济是动态有效的，利率为正。

• 动态效率与利率:

  • 动态无效率与负利率相关联。当经济的储蓄过多（人们在老年时期的禀赋 $\epsilon$ 太少，导致年轻时储蓄意愿强烈），但没有好的投资渠道时，就会导致均衡利率为负，经济陷入动态无效率。
  • 动态效率与正/零利率相关联。

社会保障 (Social Security) 作为解决方案

当经济处于动态无效率状态时（$\epsilon < \beta$），政府可以通过政策干预来改善全体福利。

• 政策: 实施一个现收现付制 (pay-as-you-go) 的社会保障体系。
  • 向每期年轻人征税 $\tau$。
  • 将税收收入作为补贴发给同期的老年人。
• 效果:
  • 税后禀赋变为：年轻人 $1-\epsilon-\tau$，老年人 $\epsilon+\tau$。
  • 为了达到最优配置 (OA)，需要让税后的禀赋等于最优消费。 $$ \epsilon + \tau = c_o^\ast = \beta \implies \tau = \beta - \epsilon $$
  • 由于我们是在 $\epsilon < \beta$ 的情况下，所以所需税收 $\tau > 0$。
  • 通过这个简单的代际转移支付，政府可以强制性地将经济从无效率的CE推向有效率的OA，实现帕累托改进。

Ricardian Equivalence

问题: 政府政策（税收或支出）会影响产出吗？征税的时间点（现在征税 vs 将来征税）重要吗？

李嘉图等价: 在特定假设下，税收的时间安排不重要。政府发债融资等同于延迟征税，理性的家庭会预期到未来的税收并调整储蓄，从而抵消政策影响。

在 OLG 模型中的李嘉图等价

结论: 只有在 动态有效 ($\epsilon \geq \beta$ 或 $R \geq 1$) 的情况下，李嘉图等价才在 OLG 模型中成立。

• 如果 $\epsilon \geq \beta$，任何满足 $\tau_{t+1} = R \tau_t$ 的税收政策都不会改变均衡配置 $\{1-\epsilon, \epsilon\}$。
• 家庭通过债券市场调整资产持有量，完全抵消政府的税收跨期转移。

在 Ramsey 模型中的李嘉图等价

• 模型设定:
  • N个无限长寿的同质家庭。
  • 效用: $\sum_{t=0}^{\infty} \beta^t u(c_t)$
  • 预算约束: $c_t + R^{-1}b_{t+1} \le y_t + b_t$
  • 横截性条件 (Transversality Condition): $\lim_{T \to \infty} R^{-T} b_{t+T} = 0$，此条件排除了庞氏骗局。
• 引入政府:
  • 政府支出 $\{g_t\}$，税收 $\{\tau_t\}$。
  • 政府预算约束: $B_t + g_t = \tau_t + R^{-1}B_{t+1}$
• 定理: 给定政府支出的路径 $\{g_t\}$ 不变，任何满足政府跨期预算平衡的税收路径 $\{\tau_t\}$ 的改变，都不会影响消费和资产的均衡路径。
• 直觉与证明: 关键在于将家庭和政府的预算约束都写成 跨期形式 (intertemporal form)。
  • 家庭的跨期预算约束: $$ \sum_{t=0}^{\infty} R^{-t}c_t = \sum_{t=0}^{\infty} R^{-t}(y_t - \tau_t) + (1+R)b_0 $$
  • 政府的跨期预算约束: $$ \sum_{t=0}^{\infty} R^{-t}\tau_t = \sum_{t=0}^{\infty} R^{-t}g_t + (1+R)B_0 $$ 将政府的约束代入家庭的约束，可以消去税收 $$\tau_t$$: $$ \sum_{t=0}^{\infty} R^{-t}c_t = \sum_{t=0}^{\infty} R^{-t}(y_t - g_t) + (1+R)(b_0-B_0) $$ 这个最终的约束方程表明，家庭的消费路径只取决于禀赋的现值和政府支出的现值，与税收的具体 时间分布 无关。只要税收的总现值不变，无论政府是今天征税还是明天征税，家庭的消费决策都完全相同。

李嘉图等价的失效条件

李嘉图等价依赖于一系列严格的假设，当这些假设不满足时，它就会失效。

• 有限生命 (OLG模型): 如前所述，有限生命打破了代际间的联系。当前政府减税并发行债券，负担将由未来的、尚未出生的代际承担，而当前代际则会把减税视为净财富增加，从而增加消费。
• 借贷约束 (Borrowing Constraints): 如果家庭面临流动性约束（想借钱但借不到），那么政府的减税（增加当前可支配收入）会缓解这一约束，从而刺激消费。
• 扭曲性税收: 如果税收不是一次总付的 (lump-sum)，而是与收入或消费挂钩，改变税收的时机会改变相对价格和激励，从而影响经济决策。
• 不确定性: 如果家庭不确定未来的收入或税收政策，他们可能不会将当前的减税完全储蓄起来。

动态效率与李嘉图等价的关系

如果一个自给自足（autarky）经济是 动态有效 (Dynamically Efficient) 的，引入预算平衡的政府将导致李嘉图等价成立。

动态效率的判别标准:

• Solow 模型: 储蓄率小于黄金律储蓄率。
• Ramsey 模型: 非借贷约束 (No-borrowing limit) 不起作用 (not binding)。
• OLG 模型: 家庭留下非负的遗产 (non-negative bequests)。
• 一般准则: 利率低于增长率 ($r < g$) 通常预示着动态无效。在纯交换经济中，表现为负利率 ($r < 0$)。

失业理论

McCall (1970, QJE) Job Search Model

该模型试图解释为什么失业存在：主要归因于工作机会的不确定性以及搜寻需要耗费时间。

模型设定

• 时间：离散时间，贴现因子为 $\beta \in (0, 1)$。
• 决策：每一期 $t$，失业工人面临两个选择：
  1. 接受工作：工资 $w$ 来自已知分布 $F(w)$，其中 $F(0)=0, F(B)=1, B < \infty$。
  2. 拒绝工作：继续失业并获得失业补偿金 $c$。
• 搜寻方式：序贯搜寻 (sequential search)。每期收到一个独立的工资报价，若拒绝，该报价在当期结束时失效。

Optimization Problem

失业工人的价值函数 $V(w)$ 取决于当前收到的工资报价 $w$：

$$ V(w) = \max \left\{ \underbrace{\frac{w}{1 - \beta}}_{\text{accept}}, \underbrace{c + \beta \int_0^B V(w')dF(w')}_{\text{reject}} \right\} $$

• 若接受工作，假设工作永久持续，其现值为 $\dfrac{w}{1-\beta}$。
• 若拒绝工作，当期获得 $c$，下期继续搜寻，期望价值为 $\beta \int V(w')dF(w')$，注意这是一个常数。

存在一个保留工资 (Reservation Wage) $\bar{w}$，决策规则如下：

• 若 $w > \bar{w}$，停止搜寻（接受工作）。
• 若 $w \le \bar{w}$，继续搜寻（保持失业）。

保留工资 $\bar{w}$ 满足： $$ \frac{\bar{w}}{1-\beta} = c+\beta \int_0^B V(w') dF(w') $$ 价值函数的分段形式（分段线性）： $$ V(w) = \begin{cases} \dfrac{w}{1-\beta} & \text{if } w > \bar{w} \\ \dfrac{\bar{w}}{1-\beta} & \text{if } w \le \bar{w} \end{cases} $$ 注意：在 $\bar{w}$ 处，工人对接受和拒绝是无差异的，因此拒绝工作的价值（继续搜寻的价值）等于 $\dfrac{\bar{w}}{1-\beta}$。

求解保留工资 $\bar{w}$

利用无差异条件 (Indifference condition)： $$ \frac{\bar{w}}{1 - \beta} = c + \beta \int_{0}^{B} V(w')dF(w') $$ 将 $V(w')$ 的分段函数代入积分项： $$ \frac{\bar{w}}{1 - \beta} = c + \beta \int_{0}^{\bar{w}} \frac{\bar{w}}{1 - \beta} dF(w') + \beta \int_{\bar{w}}^{B} \frac{w'}{1 - \beta} dF(w') $$ 整理后得到 McCall 模型的核心方程： $$ \bar{w} = c + \frac{\beta}{1 - \beta} \int_{\bar{w}}^{B} (w' - \bar{w}) dF(w') $$ 直觉含义：保留工资 = 失业补偿金 + 继续搜寻的期权价值（Option value）。只有当预期能找到比 $\bar{w}$ 更高的工资时，继续搜寻才有价值。

令 $h(w)=\dfrac{\beta}{1-\beta} \displaystyle\int_w^B\left(w^{\prime}-w\right) d F\left(w^{\prime}\right)$，有 $\bar{w}-c=h(\bar{w})$

$$ \begin{gathered} h(0)=\frac{\beta E w}{1-\beta}, \;\; h(B)=0 \\ h^{\prime}(w)=-\frac{\beta}{1-\beta}(1-F(w))<0, \;\;h^{\prime \prime}(w)=\frac{\beta}{1-\beta} F^{\prime}(w)>0 . \end{gathered} $$

比较静态分析与扩展

失业补偿金的影响

当失业补偿 $c$ 增加时，保留工资 $\bar{w}$ 增加。

通过隐函数定理： $$ \bar{w}(c)-c = h(\bar{w}(c)) \implies \bar{w}'(c) = \frac{1}{1-h'(\bar{w}(c))} > 0 $$ 结果：失业持续时间变长，稳态失业率上升。

工资不平等 (Wage Inequality) 的影响

考虑均值保留展宽 (Mean-preserving spreads)，即给工资分布增加一个 noise 但保持均值不变。

对于 $$ \bar{w} - c= \frac{\beta}{1 - \beta} \int_{\bar{w}}^{B} (w' - \bar{w}) dF(w') $$ 右边可以写成 $\mathbb{E}_F[\max\{w-\bar{w}, 0\}]$，内层函数是凸函数，因此，如果 $G$ 是 $F$ 的 mean-perserving spread，有 $$ \mathbb{E}_G[\max\{w-\bar{w}, 0\}] \geq \mathbb{E}_F[\max\{w-\bar{w}, 0\}] $$

$G$ 是 $F$ 的 mean-perserving spread 指的是风险规避的决策者会更偏好 $F$，假设凹的效用函数是 $u(\cdot)$，有 $$ E_G[u(x)] \leq E_F[u(x)] $$

右边作为“继续搜寻的期权价值”，当不确定性增加的时候，期权的价值会上升。

回到最初的方程，左边是 $\bar{w}$ 的增函数，右边是 $\bar{w}$ 的减函数。当分布 $F$ 变为 $G$ 的时候 （MPS），右边会增加，导致新的交点 $\bar{w}$ 会向右移动。

即：工资分布的波动性增加（均值不变），会导致保留工资上升。

模型变体

• 允许辞职 (Quits)：工人何时辞职？当在职搜寻到更高工资时。
• 允许解雇 (Firing)：引入解雇概率。

Lake Model of Unemployment

假设有大量事以前同质 (Ex-ante identical) 的工人。

流入：就业者以概率 $\alpha$ 外生分离 (Exogenous separation) 变为失业者。

流出：失业者收到工资报价，若 $w < \bar{w}$ 则拒绝。因此，从失业到就业的概率为 $1 - F(\bar{w})$，保持失业的概率为 $F(\bar{w})$。

失业率运动方程 (Law of motion)： $$ U_{t+1} = \alpha(1 - U_t) + F(\bar{w})U_t $$ 其中 $\alpha(1 - U_t)$ 是新失业的人，$F(\bar{w})U_t$ 是没找到工作继续失业的人。这构成一个 Markov Chain。

稳态失业率 (Stationary Unemployment Rate)：

令 $U_{t+1} = U_t = U$，解得： $$ U = \frac{\alpha}{\alpha + 1 - F(\bar{w})} = \frac{1}{\frac{1 - F(\bar{w})}{\alpha} + 1} $$

Jovanovic (1979, JPE) Search and Matching

McCall 模型假设工资分布是外生的，而 Jovanovic 模型引入了匹配质量 (Match Quality) 的概念来解释工资差异和动态。

Jovanovic 模型旨在解释以下事实：

1. 平均而言，工资随工龄 (Tenure) 增长。
2. 辞职率 (Quits) 与工龄负相关。
3. 随后的辞职概率与当前工资负相关。

核心解释：了解匹配质量需要时间 (Learning takes time)。

模型设定

• 先验信念：失业工人和空缺职位抽取随机匹配质量 $\theta \sim N(\mu, \sigma_0^2)$。
• 信号：工人与企业观测到一个带噪声的信号 $y = \theta + u$，其中 $u \sim N(0, \sigma_u^2)$。
• 第 1 期：
  • 根据信号 $y$ 更新信念，得到后验均值 $m_0 = \mathbb{E}[\theta\mid y]$。
  • 风险中性企业提供工资 $w = m_0$。
  • 工人决定接受或拒绝（继续失业，价值为 $\beta Q$）。
• 第 2 期：
  • 真实的 $\theta$ 被完全揭示。
  • 企业提供工资 $\theta$。
  • 工人决定接受或变为失业。

模型求解 —— 逆向归纳法

1. 第 2 期 (Period 2) $\theta$ 已知。工人的价值函数为： $$ J(\theta) = \max \left\{ \frac{\theta}{1 - \beta}, \beta Q \right\} $$ 存在保留匹配质量 $\bar{\theta}$，满足无差异条件： $$ \frac{\bar{\theta}}{1 - \beta} = \beta Q $$

2. 第 1 期 (Period 1) 企业提供工资 $m_0 = \mathbb{E}[\theta|y]$。工人在第 1 期面临的不确定性是第 2 期真实的 $\theta$ 会是多少。

$\theta$ 的后验分布服从 $N(m_0, \sigma_1^2)$，其中 $\sigma_1^2$ 是后验方差（由卡尔曼滤波公式给出，小于先验方差）。

第 1 期工人的价值函数 $V(m_0)$： $$ V(m_0) = \max \left\{ m_0 + \beta \int J(\theta') dF(\theta' | m_0, \sigma_1^2), \beta Q \right\} $$ 这里 $J(\theta')$ 是第 2 期的期望价值。

存在第 1 期的保留工资阈值 $\bar{m}_0$，满足： $$ \bar{m}_0 + \beta \int J(\theta') dF(\theta' | \bar{m}_0, \sigma_1^2) = \beta Q $$

关键结论与证明

通过对比第 1 期和第 2 期的无差异条件，可以得出： $$ \bar{\theta} - \bar{m}_0 = \frac{\beta}{1 - \beta} \int_{\bar{\theta}}^{\infty} (\theta' - \bar{\theta}) dF(\theta' | \bar{m}_0, \sigma_1^2) > 0 $$ 即 $\bar{\theta} > \bar{m}_0$。

• 含义：第 1 期的保留门槛更低。这是因为第 1 期接受工作包含了一个学习的期权价值（如果发现匹配质量好就留下，不好就第 2 期走人）。

解释典型事实：工资随工龄增长

证明 $\bar{w}_2 > \bar{w}_1$（第 2 期就业者的平均工资高于第 1 期）。

• 机制：选择效应 (Selection Effect)。
• 只有匹配质量好的工人才会留到第 2 期（$\theta > \bar{\theta}$），而匹配质量差的在第 2 期开始前就辞职了。
• 第 1 期就业者的平均工资 $\bar{w}_1$ 包含了一些最终会被证明是不好的匹配（$m_0$ 只是预估），而第 2 期留下的都是经过筛选的高 $\theta$。
• 数学上利用了截断分布的性质证明： $$ \bar{w}_1 < \bar{w}_2 $$

其他观察

• 一旦工人在第 2 期决定留下，她就永远不会离开（因为没有新的冲击了）。

• 辞职概率与当前工资 $m_0$ 负相关：当前工资 $m_0$ 越高，意味着对 $\theta$ 的预期越高，从而 $\theta$ 最终低于保留阈值 $\bar{\theta}$ 的概率越小。

• 稳态失业率：Jovanovic 模型中的稳态失业率取决于噪声的大小、生产率的离散程度以及贴现率。

• 噪声的影响：噪声越小，第 1 期的信号越准确，学习的价值降低，模型行为越接近 McCall 模型。

• 生产率离散度：离散度越大，搜寻和匹配的期权价值越大。

McCall Model in Continuous Time

McCall (1970) 模型是 job search 理论的基石，它假设工资分布是外生的。可以将其扩展到连续时间框架。

基本设定

• 主体：风险中性、无限寿命的工人，贴现率为 $\rho$。
• 失业者：享受失业流收益 $b$ (flow unemployment benefit)。以泊松速率 $\lambda$ 从外生分布 $F(w)$ 中抽取工资报价。
• 就业者：赚取工资 $w$。以外生速率 $x$ 失业 (job separation rate)。
• 搜寻方式：序贯搜寻 (sequential search)。

价值函数

利用动态规划方法设定价值函数：

• $U$：失业工人的价值。
• $E(w)$：持有工资 $w$ 的就业工人的价值。

失业工人的价值函数： $$ \rho U = b + \lambda \int_{0}^{\infty} \max\{E(w) - U, 0\} dF(w) $$

直觉含义：失业的流价值 ($\rho U$) 等于失业收益 ($b$) 加上找到工作带来的预期资本利得 ($\lambda \times \text{Expected Gain}$)。

就业工人的价值函数： $$ \rho E(w) = w + x(U - E(w)) $$ 直觉含义：就业的流价值等于工资 ($w$) 减去失业风险带来的预期资本损失 ($x(E(w) - U)$)。

Optimal Stopping Rule

工人的最优策略是设定一个保留工资 (Reservation Wage) $\bar{w}$，使得在该工资水平下，就业价值等于失业价值：

$$ E(\bar{w}) = U $$

由此可得 $\bar{w} = \rho U$。将其代入失业价值方程并整理，得到保留工资的决定方程：

$$ \bar{w} = b + \frac{\lambda}{\rho + x} \int_{\bar{w}}^{\infty} (w - \bar{w}) dF(w) $$

含义：保留工资等于失业收益加上搜寻的期权价值。分离率 $x$ 越高，未来工作的预期久期越短，搜寻价值越低，$\bar{w}$ 越低。

Lake Model

假设大量事前同质的工人：

• 工作分离率：$x$
• 工作找到率 (Job finding rate)：$\lambda(1 - F(\bar{w}))$

失业人数 $u$ 的流平衡 (Flow balance) 条件： $$ x(1 - u) = \lambda(1 - F(\bar{w}))u $$ 即：流入失业的人数 = 流出失业（找到工作）的人数。

稳态失业率： $$ u = \frac{x}{x + \lambda(1 - F(\bar{w}))} = \frac{\frac{1}{\lambda(1 - F(\bar{w}))}}{\frac{1}{\lambda(1 - F(\bar{w}))} + \frac{1}{x}} $$ 这再次印证了失业率取决于平均失业持续时间与平均就业持续时间的比例。

Burdett and Mortensen (1998, IER)

McCall 模型无法解释为什么同质工人会获得不同的工资（因为在 McCall 模型中，所有就业者最终都会接受高于 $\bar{w}$ 的工资，但没有机制解释为何企业会提供高于 $\bar{w}$ 的工资，除非假设外生分布）。BM 模型通过引入在职搜寻 (on-the-job search) 和工资发布 (wage posting) 解决了这个问题，产生了内生的工资分布。

模型设定

• 失业者：以速率 $\lambda_u$ 收到报价。
• 就业者：以速率 $\lambda_e$ 进行在职搜寻（通常 $\lambda_e < \lambda_u$）。如果收到 $w' > w$ 的报价，工人会跳槽。
• 企业：同质企业，生产率为 $A > b$，设定工资 $w$ 以最大化空缺职位的价值。

保留工资

失业价值： $$ \rho U = b + \lambda_u \int_{0}^{\infty} \max\{E(w) - U, 0\} dF(w) $$

就业价值（增加了跳槽带来的资本利得项）： $$ \rho E(w) = w + x(U - E(w)) + \lambda_e \int_{0}^{\infty} \max\{E(w') - E(w), 0\} dF(w') $$

由 $E(\bar{w}) = U$ 导出 保留工资： $$ \bar{w} = b + (\lambda_u - \lambda_e) \int_{\bar{w}}^{\infty} \frac{1 - F(w)}{\rho + x + \lambda_e(1 - F(w))} dw $$ 注意：如果在职搜寻效率很高 ($\lambda_e \ge \lambda_u$)，工人可能愿意接受低于 $b$ 的工资以进入就业阶梯 (Job ladder)。但通常假设 $\lambda_u > \lambda_e$。

流量平衡与分布关系

定义 $F(w)$ 为企业提供的工资报价分布，$G(w)$ 为实际就业工人的工资分布 (Paid wage distribution)。

• 流出失业 = 流入失业：$x(1 - u) = \lambda_u u$（假设 $F(\bar{w})=0$）。

• 对于工资不超过 $w$ 的就业者 $G(w)(1-u)$，其流出（分离+跳槽到更高工资）等于流入（失业者找到低薪工作）： $$ [x + \lambda_e(1 - F(w))]G(w)(1 - u) = \lambda_u F(w)u $$

由此导出 $G(w)$ 与 $F(w)$ 的关系： $$ G(w) = \frac{F(w)x}{x + \lambda_e(1 - F(w))} $$ 结论：$G(w) < F(w)$，即实际工资分布一阶随机占优于报价分布。因为高薪工作留人时间更长，低薪工作员工流失快，所以高薪员工的存量比例高于高薪报价的流量比例。

企业问题与均衡工资分布

企业设定工资 $w$ 以最大化稳态利润流： $$ \pi(w) = (A - w) L(w) $$ 其中 $L(w)$ 是提供工资 $w$ 的企业的稳态劳动力规模。由于工人从低薪向高薪流动，高工资企业能维持更多的员工。

稳态劳动力规模 $L(w)$ 推导为： $$ L(w) \propto \frac{x}{x + \lambda_e(1 - F(w))} \frac{1}{\rho + x + \lambda_e(1 - F(w))} $$ 均衡条件： 所有发布的工资必须带来相同的利润（否则企业会调整）。即 $\pi(w) = \pi(\bar{w})$。 通过解这个无差异条件，可以解析地求出均衡工资分布 $F(w)$。

主要结论：

1. 工资离散：即使工人和企业都是同质的，均衡状态下也会存在工资分布。
2. 分布形状：$F''(w) > 0, G''(w) > 0$。模型预测的工资分布密度是递增的（右尾更厚），这意味着高工资的工作虽少，但依然有相当比例。这与某些实证数据吻合，但也存在偏差。

Postel-Vinay & Robin (2002, ECTA)

PVR 模型引入了企业间的伯特兰竞争 (Bertrand Competition) 机理。与 BM 模型不同，工人不一定要跳槽才能涨薪，现任雇主可以匹配外部报价 (counter-offer)。

模型机制

异质性企业：生产率 $a \sim F(\cdot)$。

工资决定：序贯拍卖 (Sequential Auction)。

• 当失业者遇到企业 $a$：企业提供保留工资（或略高），榨取剩余。
• 当就业者（当前在生产率为 $a$ 的企业，工资为 $w$）遇到新企业 $a'$：
  1. 若 $a' > a$（新企业生产率更高）：新企业 $a'$ 挖角成功。新工资由原企业 $a$ 的最高支付意愿（即 $a$ 的全部生产率）决定。工人跳槽，工资提升。
  2. 若 $a > a'$（原企业生产率更高）：原企业 $a$ 匹配新企业的报价。工人留任，但工资提升到 $a'$ 能支付的最高水平。
  3. 若新企业太差，不足以威胁当前工资，则无事发生。

价值函数与工资动力学

就业工人的价值 $E(w, a)$ 取决于当前工资 $w$ 和当前企业生产率 $a$。 $$ \rho E(w, a) = w + x(U - E(w, a)) + \lambda_e \int_{0}^{\infty} \Delta E dF(a') $$ 其中 $\Delta E$ 是遇到新企业 $a'$ 后的价值变化，包含三种情况：

1. 被挖角 (Poaching)：$a' > a$。
2. 涨薪留任 (Wage raise)：$a > a'$ 且新报价具有威胁性。
3. 不变 (No change)。

工资函数 $\phi(a', a)$： 表示当两个企业竞争，生产率分别为 $a'$ (挑战者) 和 $a$ (现任) 时，胜出者支付给工人的工资。若 $a' < a$，现任企业 $a$ 胜出，支付的工资使得工人的价值等同于在企业 $a'$ 拿全部产出 $a'$ 的价值。

模型含义

• 工资随工龄增长：即使不换工作，工人的工资也会随着收到外部报价（威胁）而逐步上升。工人实际上是在利用外部报价攀登“工资阶梯”。
• 工资离散：生产率高的企业能留住工人并支付更高工资，但同质工人在同一生产率企业可能因“运气”（收到的外部报价历史不同）而拥有不同工资。
• 效率：PVR 模型中工人总是流向生产率更高的企业，实现了生产效率的配置优化（不同于 BM 模型中可能仅仅因为工资高而跳槽）。

总结与讨论

实证挑战：

在将这些模型匹配数据时，需要识别关键参数：贴现率 $\rho$、分离率 $x$、搜寻效率 $\lambda_u, \lambda_e$ 以及生产率分布 $F(\cdot)$。主要难点在于区分“摩擦性工资离散”（由搜寻导致）和“根本性工资离散”（由工人或企业异质性导致）。

Kenneth Burdett, Dale T. Mortensen. International Economic Review, Vol. 39, No. 2 (May, 1998), pp. 257-273. https://www.jstor.org/stable/2527292