绝对连续 Absolute Continuity
A function $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be absolutely continuous on $[a, b]$ if, given $\varepsilon>0$, there exists some $\delta>0$ such that $$ \sum_{i=1}^{n}\left|f\left(y_{i}\right)-f\left(x_{i}\right)\right|<\varepsilon $$ whenever $\left\{\left[x_{i}, y_{i}\right]: i=1, \ldots, n\right\}$ is a finite collection of mutually disjoint subintervals of $[a, b]$ with $\sum_{i=1}^{n}\left|y_{i}-x_{i}\right|<\delta$.
绝对连续函数一定一致连续。Cantor 函数是一致连续的，但不绝对连续。
绝对连续最重要的是与积分的联系，对于可积的函数 $f$ $$ F(x):=\int_{a}^{x} f(t) d t, \quad a \leq x \leq b $$ 在 $[a, b]$ 上是绝对连续的。
绝对连续函数一定是有界变差的，所以绝对连续函数几乎处处可微。
一致连续 Uniform Continuity
Given metric spaces $\left(X, d_{1}\right)$ and $\left(Y, d_{2}\right)$, a function $f: X \rightarrow Y$ is called uniformly continuous if for every real number $\varepsilon>0$ there exists real $\delta>0$ such that for every $x, y \in X$ with $d_{1}(x, y)<\delta$, we have that $d_{2}(f(x), f(y))<\varepsilon$.
对应到一元函数，区间 $X$ 上的函数 $ f $ 一致连续，如果 $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{s.t. } \; |x - y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y) | < \epsilon$
Heine–Cantor theorem 说明了紧集上的连续函数一定是一致连续的。
不一致连续的函数的例子，如 $f(x) = 1/x, \; x\in (0, 1)$、$f(x) = e^x , x \in \mathrm{R}$ .
半连续 Semi-Continuity
半连续是对连续性的一种弱化，跟连续性类似，它有分析学上的定义，也有拓扑学意义上的定义。
分析学意义
称 $f$ 在 $\bar{x}$ 下半连续, 如果 $\displaystyle\liminf _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)\geq f(\bar{x})$
称 $f$ 在 $\bar{x}$ 上半连续, 如果 $\displaystyle\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x) \leq f(\bar{x})$
上（下）半连续函数是在各个点都上（下）半连续的函数。
拓扑学意义
Let $ f $ be a real (or extended-real) function on a topological space.
-
If $\{x: f(x)>\alpha\}$ is open for every real $\alpha, f$ is said to be lower semi-continuous.
-
If $\{x: f(x)<\alpha\}$ is open for every real $\alpha, f$ is said to be upper semi-continuous.
最简单的例子是，开集的 indicator function $\mathbf{1}_A(x) = \begin{cases} 1 & x\in A\\ 0 & x \notin A \end{cases}$ 是下半连续的，闭集的 indicator function 是上半连续的。
$\mathrm{R}$ 上的半连续函数：
等价定义
$f: X \to \mathrm{\bar{R}}$ 是上半连续的等价于：
- All superlevel sets $\{x \in X: f(x) \geq y\}$ with $y \in \mathrm{R}$ are closed in $X$.
- The hypograph $\{(x, t) \in X \times \mathrm{R}: t \leq f(x)\}$ is closed in $X \times \mathrm{R}$.
$f: X \to \mathrm{\bar{R}}$ 是下半连续的等价于：
- All sublevel sets $\{x \in X: f(x) \leq y\}$ with $y \in \mathrm{R}$ are closed in $X$.
- The epigraph $\{(x, t) \in X \times \mathrm{R}: t \geq f(x)\}$ is closed in $X \times \mathrm{R}$.
在凸优化中，有时把闭函数定义为 epigraph 为闭集的函数，它与下半连续函数是等价的。
性质
- $f$ 连续当且仅当它是上半连续和下半连续的。
- 下半连续函数的和是下半连续的；上半连续函数的和是下半连续的。
- $f$ 下半连续当且仅当 $-f$ 是上半连续的。
- 紧集上的下半连续函数存在最小值；紧集上的上半连续函数存在最大值。两个联系起来就是紧集上的连续函数存在最值。(Weierstrass extreme value theorem)
Hemicontinuity
Upper hemicontinuity and lower hemicontinuity are extensions of the notions of upper and lower semicontinuity of single-valued functions to set-valued functions. A set-valued function that is both upper and lower hemicontinuous is said to be continuous in an analogy to the property of the same name for single-valued functions.
考虑一个集值映射
$$
F: X \rightrightarrows Y
$$
其中 $X$ 是拓扑空间（通常为度量空间），$Y$ 也是拓扑空间，且对任意 $x \in X$，有 $F(x) \subset Y$。
上半连续性（UHC）
直观：当自变量 $x$ 轻微变动时，$F(x)$ 不会“突然扩大”。 用数学语言来表述就是，对任意开集 $V \supset F(x)$，当 $x'$ 足够接近 $x$ 时，$F(x') \subset V$。
A set-valued function $F: X \rightrightarrows Y$ is said to be upper hemicontinuous at a point $x \in X$ if, for every open $V \subset Y$ with $F(x) \subset V$, there exists a neighbourhood $U$ of $x$ such that for all $x \in U, \Gamma(x)$ is a subset of $V$.
下半连续性（LHC）
直观：当自变量 $x$ 轻微变动时，$F(x)$ 不会“突然缩小”。用数学语言来表述就是， 对任意开集 $V$ 与 $F(x)$ 相交，当 $x'$ 足够接近 $x$ 时，$F(x')$ 也与 $V$ 相交。
A set-valued function $F: X \rightrightarrows Y$ is said to be lower hemicontinuous at the point $x \in X$ if for every open set $V$ intersecting $F(x)$, there exists a neighbourhood $U$ of $x$ such that $\Gamma(x')$ intersects $V$ for all $x' \in U$.
若 $X, Y$ 是度量空间，且 $F(x)$ 是闭集，可采用序列语言描述：
-
UHC（序列形式）： 若 $x_n \to x$，且 $y_n \in F(x_n)$ 且 $y_n \to y$，则 $y \in F(x)$
-
LHC（序列形式）： 若 $x_n \to x$，且 $y \in F(x)$，则存在 $y_n \in F(x_n)$ 使得 $y_n \to y$
例1（UHC 但非 LHC）
定义 $F: \mathbb{R} \rightrightarrows \mathbb{R}$ 为 $$ F(x) = \begin{cases} \{0\}, & x \ne 0 \\ [-1, 1], & x = 0 \end{cases} $$
- UHC 成立：当 $x_n \to 0$，$F(x_n) = \{0\} \subset V$ 对任意包含 0 的开集 $V$ 成立。
- LHC 不成立：取 $y = 1 \in F(0)$，开集 $V = (0.5, 1.5)$ 与 $F(0)$ 相交，但对 $x_n \ne 0$，$F(x_n) = \{0\}$ 与 $V$ 不相交。
例子 2（LHC 但非 UHC）
定义 $$ F(x) = \begin{cases} [0, 1], & x \ne 0 \\ \{0.5\}, & x = 0 \end{cases} $$
- UHC 不成立：$F(0) = \{0.5\} \subset V = (0.4, 0.6)$，但对 $x_n \ne 0$，$F(x_n) = [0,1] \not\subset V$。
- LHC 成立：$F(0) = \{0.5\} \subset [0,1] = F(x_n)$，所以任意 $y \in F(0)$ 可被 $F(x_n)$ 中的点（即 0.5）逼近。
在经济学中，预算约束通常需要满足 UHC 的，保证参数（价格、收入）的微小变化，预算集不会突然变的很大。